最短Hamilton路径

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问题

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数n。
接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（记为a[i,j]）。
对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

输出格式

输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度

输入样例

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

输出样例

18

思路

二进制状态压缩，枚举所有状态搜索，dp得最短路径。

关于dp

动态规划

  1. 状态的表示：f[state][j]；f数组表示走过state个节点的情况下，到达j点的最短路径。其中state表示已经走过的节点，状态使用二进制表示。j表示走到的当前节点。
  2. 初始状态：f[1][0] = 0
  3. 转移方程：f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + weight[k][j])

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 20, M = 1 << 20;
int f[M][N]; //大内存，堆上分配
int weight[N][N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            cin >> weight[i][j];
        }
    }

    memset(f, 0x3f, sizeof f); //初始化f数组
    f[1][0] = 0; //初始位置在0点

    for (int i = 0; i < (1 << n); i++) //枚举所有状态
    {
        for (int j = 0; j < n; j++) //计算当前状态下，每个点的最短路径
        {
            if (i >> j & 1)
            {
                for (int k = 0; k < n; k++) //由中间点k，到j
                {
                    if (i - (1 << j) >> k & 1)
                    {
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + weight[k][j]);
                    }
                }
            }
        }
    }

    cout << f[(1 << n) - 1][n - 1] << endl;
}